Pembuktian Rumus Phytagoras

-------------------------------------------------------------------------------------------------

Ini adalah posting pertama saya dalam pembuktian rumus, pertama-tama saya coba dulu pembuktian yang sederhana ya, kalo yang rumit-rumit bisa sih, tapi agak susah postingnya ke blog. Yap, pada kesempatan kali ini saya akan membuktikan rumus phytagoras, saya akan membuktikan rumusnya, plus memberitau kalian mengenai asal muasal "Bapak Pencipta Rumus Phytagoras". Phytagoras atau disebut Πυθαγόρας dalam bahasa yunani merupakan Ilmuan matematika ternama & filusuf yunani yang telah menciptakan rumus menemukan sisi miring pada segitiga siku-siku. Walaupun saat ini teorematersebut telah berkembang pesat semenjak adanya trigonometri, namun teorema Phytagoras ini tetap merupakan dasar dari sekitar 80% keseluruhan teorema segitiga yang ada. Teorema Phytagoras ditemukan pada abad ke 6SM, Phytagoras hidup pada tahun 582SM sampai 496SM dan telah berhasil membuktikan bahwa kuadrat sisi miring segitiga siku-siku merupakan jumlah kuadrat total dari sisi-sisi segitiga lainnya. Walaupun memang teorema ini telah diketahui sebelum phytagoras lahir, namun Phytagoras dapat membuktikan teorema ini secara matematis. Phytagoras dan muridnya/pengikutnya percaya bahwa segala sesuatu di alam berhubungan dengan matematika, seperti: pola, rasio,dll. Hingga sekarang, teorema segitiga ini diterima dan secara matematis ditulis sebagai: c²=a²+b² dengan "c" adalah sisi miring segitiga. Phytagoras tersebut membuktikan teorema tersebut dangan menggabung 4 segitiga sebangun seperti pada gambar berikut:

gambar disamping merupakan gambar penggabungan 4 segitiga sebangun yang sisinya sama, setelah penggabungan tersebut, dapat ditemukan 2 persegi, yaitu persegi beser dengan sisi "a+b" dan persegi kecil dengan sisi "c" dari gambar disamping, phytagoras mencoba mencari luas area persegi dengan sisi "c". Ada 2 cara menghitung luas persegi kecil tersebut, yaitu dengan mencari luas persegi kecil secara langsung dan dengan mencari luas persegi besar terlebih dahulu, lalu dikurang dengan luas 4 segitiga siku-siku abc. Telah diketahui bahwa luas segitiga siku-siku adalah "½(alas x tinggi)" dan luas persegi adalah "sisi²" dari konsep tersebut, telah didapatkan 3 persamaan matematika, yaitu: Luas Persgi Kecil=c² ; Luas persegi besar= (a+b)² ; Luas segitiga: ½(ab). Tak hanya berhenti sampai disana, Luas Persegi kecil juga dapat dicari jika Luas Persegi Besar dan Luas Segitiga telah diketahui. Yaitu dengan mengurangkan luas persegi besar dengan 4 kali luas segitiga. secara matematis ditulis: Luas Persegi Kecil=(a+b)²-4[½(ab)]. Dapat dilihat (Yang telah diBold) bahwa ada 2 persamaan dalam mencari luas persegi kecil, kedua persamaan tersebut dapat digabung atau disubtitusikan menjadi satu persamaan: c²=(a+b)²-4[½(ab)] kemudian disederhanakan dengan proses aljabar:

-------------------------------------------------------------------------------------------------

c²=(a+b)²-4[½(ab)]

c²=(a+b)²-2(ab)

c²=(a+b)(a+b)-2(ab)

c²=a²+2(ab)+b²-2(ab)

c²=a²+b²+[2(ab)-2(ab)]

c²=a²+b²+0

c²=a²+b²

-------------------------------------------------------------------------------------------------

Sehingga terbuktilah bahwa kuadrat sisi miring (c²) merupakan jumlah kuadrat total dari sisi-sisi segitiga lainnya (a²+b²).

Mudah bukan? Cara diatas memang merupakan alternatif termudah dalam membuktikan rumus phytagoras (bahkan phytagoras membuktikan dalil tersebut dengan cara demikian), namun, jika dipikir lebih mendalam, banyak cara lain untuk membuktikannya, seperti menggunakan lingkaran luar segitiga siku-siku, gabungan tiga segitiga, trapesium, trigonometri, dan banyak lagi. Memang tak ada waktu untu memosting semua cara tersebut, namun, saya akan memasukkan salah satu cara yang agak mirip dengan cara diatas, yaitu dengan membelah gambar diatas menjadi dua bagian:

bagian yang bewarna kelabu dihilangkan sehingga akan ditemukan 2 segitiga sebangun dan 1 segitiga sama kaki, dari potongan gambar tersebut nilai c juga dapat dicari, mamun agak ribed, tapi bagi yang haus akan pengetahuan tentu akan penasaran dan ingin tau khan? Yap, kali ini akan saya eksprimenkan 1 pembuktian lagi, namun untuk pembuktian dengan cara yang lain akan saya post pada lain kesempatan. Kembali ke persamaan, dari gambar disamping dapat diciptakan persamaan Phytagoras. Langkah pertama adalah dengan mengubah gambar tersebut menjadi lebih mudah kita pahami, caranya adalah dengan memberikan beberapa garis bantu yang nantinya akan dijadikan patokan dalam elemen-elemen pembuatan rumus phytagoras, setelah gambar sedikit "dimodif" akan seperti dibawah ini:

Dari gambar disamping, kita dapat mengetahui bahwa panjang BC=DE=BO; AB=CD; AC=CE; DB=DO. Akan Dibuktikan bahwa AC²=AB²+BC² (Rumus Phytagoras). Hampir sama Dengan yang tadi, akan dicari nilai AC dengan cara mencari luas segitiga bewarna merah ACE, Luas segitiga tersebut adalah: ½AC², tidak hanya itu, luas segitiga tersebut juga bisa didapat dari dengan menggunakan sedikit keahlian geometri, caranya adalah dengan menjumlahkan dan mengurangkan komponen kuas. [Luas segitiga AOE + Luas Segi Empat EDBO] - [Luas segitiga CDE + Luas Segitiga ABC]. Pertama-tama kita cari masing-masing komponen luas:

• Luas Segitiga AOE= ½(AO.EO); karena "AO=AB-DE" dan "EO=BD=BC+CD", maka Luas Segitiga AOE=½[(AB-DE).(BC+CD)].
• Luas Segi Empat EDBO=DE.BD; karena "BD=BC+CD", maka Luas Segi Empat EDBO=DE.(BC+CD).
• Luas Segitiga CDE=½(DE.CD)
• Luas Segitiga ABC=½(AB.BC)

Sehingga jika dimasukkan ke persamaan, maka luas segitiga ACE:

-------------------------------------------------------------------------------------------------

[½.(AB-DE).(BC+CD)]+DE.(BC+CD)-[½(DE.CD)+½(AB.BC)]

-------------Karena DE=BC; CD=AB; Maka luas segitiga ACE:-------------

[½.(AB-BC).(BC+AB)]+BC.(BC+AB)-[½(BC.AB)+½(AB.BC)]

[½.(AB-BC).(BC+AB)]+BC.(BC+AB)-[½(AB.BC)+½(AB.BC)]

[½.(AB-BC).(BC+AB)]+BC.(BC+AB)-[(½+½)(AB.BC)]

[½.(AB-BC).(BC+AB)]+BC.(BC+AB)-[1(AB.BC)]

[½.(AB-BC).(BC+AB)]+BC.(BC+AB)-(AB.BC)

[(½AB-½BC).(BC+AB)]+BC.(BC+AB)-(AB.BC)

[(½AB-½BC).(BC+AB)]+[BC.(BC+AB)-(AB.BC)]

[(½AB-½BC).(BC+AB)]+[BC.(BC+AB)-(BC.AB)]

[(½AB-½BC).(BC+AB)]+[BC.(BC+AB-AB)]

[(½AB-½BC).(BC+AB)]+[BC.(BC+0)]

[(½AB-½BC).(BC+AB)]+(BC.BC)

[(½AB-½BC).(BC+AB)]+BC²

[½AB.(BC+AB)-½BC.(BC+AB)]+BC²

[½AB.(BC+AB)+BC²]-½BC.(BC+AB)

[BC²+½AB.(BC+AB)]-½BC.(BC+AB)

[BC²-½BC.(BC+AB)]+½AB.(BC+AB)

[BC²-½BC²-½AB.BC]+½AB.(BC+AB)

[(BC²-½BC²)-½AB.BC]+½AB.(BC+AB)

[(1-½)BC²-½AB.BC]+½AB.(BC+AB)

[½BC²-½AB.BC]+½AB.(BC+AB)

[½BC²-½AB.BC]+[½AB.(BC+AB)]

[½BC²-½AB.BC]+[½AB.BC+½AB.AB]

[½BC²-½AB.BC]+[½AB.BC+½AB²]

[½BC²-½AB.BC+½AB.BC+½AB²]

[½BC²+½AB.BC-½AB.BC+½AB²]

[½BC²+(½-½)AB.BC+½AB²]

[½BC²+0AB.BC+½AB²]

[½BC²+0+½AB²]

[½BC²+½AB²]

½BC²+½AB²

-------------------------------------------------------------------------------------------------

Sehingga Luas Segitiga ACE Adalah [½BC²+½AB²], namun, ingatkah kalian bahwa luas segitiga ACE juga adalah ½AC²? (Telah dibold diatas), jadi kita tinggal menyatukan kedua persamaan tersebut menjadi 1 persamaan dengan menggunakan subtitusi. maka akan didapat 1 persamaan sederhana sebagai berikut:

-------------------------------------------------------------------------------------------------

• Luas Segitiga ACE=½AC²
• Luas Segitiga ACE=[½BC²+½AB²]

Luas Segitiga ACE=[½BC²+½AB²]=½AC²

maka:

[½BC²+½AB²]=½AC²

2[½BC²+½AB²]=2[½AC²]

(2.½)BC²+(2.½)AB²=(2.½)AC²

1BC²+1AB²=1AC²

BC²+AB²=AC²

AC²=BC²+AB²

AC²=AB²+BC²

-------------------------------------------------------------------------------------------------

Sehingga didapat bahwa AC²=AB²+BC² seperti yang akan dibuktikan, kaerna Segitiga ABC Siku-siku di B, maka panjang AC adalah Sisi miring. Sekali lagi, terbuktilah dalil pythagoras yang mengatakan bahwa sisi miring (AC²) merupakan jumlah kuadrat total dari sisi-sisi segitiga lainnya (AB²+BC²).

Terbukti, tetapi agak lebih ribed dari sebelumnya khan???

Nah masih banyak pembuktian-pembuktian yang caranya lebih rumit dari yang baru dibahas di posting kali ini, namun, jika itu dimasukkan, rasanya percuma dan hanya membuang-buang energy saja, jika sudah tau yang mudah & praktis, buat apa belajar yang susah. tetapi ada baiknya juga tau dan berlatih.

------------------Pesan dari "King Of Math"&Penutup------------------

Membuat rumus atau menyelesaikan matematika memang ada banyak sekali cara, namun pada forum olimpiade, kita dituntut untuk membuatnya sepraktis-praktisnya, secepat-cepatnya, efisien, dan masuk akal. Masih banyak pengembangan-pengembangan ilmu phytagoras lainnya seperti: kesebangunan phytagoras; tripel phytagoras; pencarian semua bilangan asli yang memenuhi phytagoras (kayak persamaan diophantine), dll. Namun hal itu jika dijabarkan semua, akan kayak buku jadinya, dan menulisnya capek.

Yap, Sekian dulu pembuktian dan pemahasan mengenai rumus phytagoras pada kesempatan kali ini, jika ada yang kurang paham, dapat bertanya lewat comment, email, plurk, facebook, dll yang alamatnya sudah kucantumkan tepat dibawah header blog ini. "Trimakasih telah mengunjungi King Of Math Blog: solve, share, solution of mathemathic problem tunggu posting berikutnya dilain kesempatan...

Written By: Tjandra Satria Gunawan